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Problemas físicos tales como conducción de calor, la ley de Hooke, la conservación de la
carga eléctrica, para mencionar unos pocos, están escritos matemáticamente en términos de
ecuaciones diferenciales parciales (EDPs). Por lo tanto, es importante y además imperativo
entender y desarrollar métodos que lleven a solucionar este tipo de ecuaciones. Además, es
vital considerar que las soluciones analíticas a este tipo de problemas son en términos
prácticos imposibles de obtener. Dado lo anterior, la implementación de técnicas numéricas
que solucionen de forma aproximadas este tipo de EDPs se hace necesaria para poder
entender de mejor manera el problema físico que se está estudiando.
En Astrofísica son varios los problemas que se escriben matemáticamente a partir de
sistemas de EDPs de tipo hiperbólico, no lineales y acoplados, entre ellos podemos
mencionar las ondas de choque interplanetarias debidas a erupciones solares y eyecciones
de masa coronaria, ondas de choque que viajan a través de una estrella masiva cuando
explota en una supernova, entre otros.
El método de ADER-DG (Adaptive Derivative – Discontinuous Galerkin) es un método
numérico con alto orden arbitrario de aproximación en tiempo y espacio el cuál requiere
una reconstrucción de celda. Este alto orden arbitrario de aproximación presenta gran
ventaja a la hora de buscar soluciones aproximadas a problemas físicos descritos a través de
EDPs de tipo hiperbólico, ya que, dadas las condiciones del problema, distintos órdenes de
aproximación pueden usarse en un mismo problema, obteniendo así una alta resolución en
lugares y momentos clave, como por ejemplo en la discontinuidad de los medios presentada
en una onda de choque.
En esta ponencia se presentarán los conceptos básicos de hidrodinámica e hidrodinámica
relativista, así como algunos problemas astrofísicos allí involucrados. Se presentará
también el problema de Riemann, así como soluciones numéricas al mismo a partir de
esquemas numéricos en el método de Volúmenes Finitos, esquemas WENO (Weighted
Essential Non Oscillatory), el método de ADER-DG y las respectivas implementaciones del
problema de Riemann desde el problema del tubo de choque de Sod para varios órdenes de
aproximación utilizando el software ExaHyPE dentro del marco no relativista.
