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As propriedades dos buracos negros, tanto clássicos quanto quânticos, motivaram por décadas a busca por modelos simplificados que preservassem suas características fundamentais sem as complexidades inerentes às soluções em dimensões mais altas. Nesse contexto, Bañados, Teitelboim e Zanelli (BTZ) propuseram um buraco negro tridimensional com constante cosmológica negativa, que se tornou um paradigma para o estudo da gravitação quântica e da correspondência AdS/CFT. O princípio holográfico, formulado originalmente por ’t Hooft e Susskind, sugere que a informação contida em um volume de espaço-tempo pode ser codificada em sua fronteira. No cenário de um universo fechado de Friedman-Robertson-Walker (FRW) dominado por radiação, Verlinde derivou uma fórmula notável que relaciona a entropia de uma teoria de campo conforme (CFT) à energia de Casimir via uma generalização da fórmula de Cardy:
S = 2πR n p EC(2E − EC),
onde S é a entropia na fronteira da CFT, R é o raio da fronteira, EC é a energia de Casimir, n é a dimensão da seção espacial da fronteira e E é a energia total do sistema. A correspondência AdS/CFT, proposta por (Maldacena 1998), estabelece uma dualidade entre uma teoria gravitacional em um espaço anti-de Sitter (AdS) e uma teoria de campo conforme (CFT) em sua fronteira. O buraco negro BTZ, por sua simplicidade e propriedades termodinâmicas análogas às de buracos negros em dimensões superiores, tornou-se um laboratório ideal para testar essa correspondência.
A aplicação da fórmula de Cardy-Verlinde ao buraco negro BTZ permite relacionar as propriedades termodinâmicas do bulk gravitacional com aquelas na fronteira conforme. Resultados recentes mostram que a entropia do BTZ pode ser recuperada via a fórmula de Cardy em CFTs bidimensionais, reforçando a robustez da correspondência AdS3/CFT2. Além disso, discussões contemporâneas abordam extensões dessa relação para cenários com quebra de conformalidade ou em presença de matéria escura efetiva, demonstrando a relevância contínua do modelo BTZ para o estudo da gravitação quântica e do princípio holográfico.
